Forsíða
3. útg
1951
|
Reiknitorg
* Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan
Algebra - Æfing XIII - svör
Heiltölu-reikningar
Sendu mér póst ef þú
finnur villur! |
| 1.
|
Ef a er tiltekin tala, hvernig er
þá stærðtákn þeirrar tölu sem kemur fram við það að skeyta 7 aftan
við a?
Lausn:
Við færum allar tölur um eitt sæti fram með því að margfalda með 10.
Þá er núll í einingasætinu. Nú bætum við 7 við töluna. Talan 7
lendir í einingasætinu.
Stærðtáknið er: 10a + 7
|
| 2.
|
Ef a er tiltekin tala, hvernig er
þá stærðtákn þeirrar tölu sem kemur fram við það að skeyta þriggja
stafa tölunni b aftan við a?
Lausn:
1000a + b
|
| 3.
|
Talan a endar á stafnum 7. Finn
stærðtákn þeirrar tölu, t, sem kemur fram ef stafnum 3 er skotið inn
fyrir framan þessa 7.
Lausn:
(1) Tökum 7 af t með t - 7 sem skilur eftir núll í einingasætinu.
Margföldum þessa nýju tölu með 10 til að fá enn eitt laust sæti aftan
við. Leggjum nú 37 við. Þá er nýja talan komin - svona:
(t - 7)*10 + 37 = 10t - 33.
|
| 4.
|
Sannaðu að ef n er heil tala
þá sé n(n+1)/2 ætíð heil tala.
Lausn:
Talan 2 gengur annað hvort upp í n eða í n+1 þar sem þær standa saman
í töluröðinni.
|
| 5.
|
Sannaðu að ef n er heil tala
þá sé (n+1)(n+2)(n+3)/6 ætíð heil tala.
Lausn:
Deilt er með tölunni 6 sem er margfeldi af 2 og 3. Talan 2 gengur upp í
aðra hverja tölu í töluröðinni og talan 3 gengur upp í þriðju hverju
tölu í töluröðinni. Þær ganga því hvor um sig upp í einhverjum af
þessum þremur tölum sem standa saman í töluröðinni.
|
| 6.
|
Sannaðu að talan (a2
- 1) sé deilanleg með 8 ef a er oddatala.
Lausn:
Stærðina (a2
- 1) má umrita svona: (a2
- 1) = (a + 1)(a - 1) í báðum svigunum eru sléttar tölur. Önnur þeirra
er tveimur lægri en hin. Það merkir að talan 2 gengur upp í annarri
þeirra en talan 4 upp í hinni. Talan 8 gengur því upp í margfeldi
þeirra.
|
| 7.
|
Sannaðu að (n+1)(n+2)(n+3)/24
sé ætíð heil tala ef n er oddatala.
Lausn:
Talan 24 hefur eina þátta-skiptingu svona: 24 = 2 * 3 * 4.
Þar sem n er oddatala eru hér þrjár samliggjandi tölur úr töluröðinni
og tvær þeirra sléttar og talan 2 gengur upp í annarri þeirra og talan 4
í hinni. Talan 3 gengur upp í einhverri þeirra því hún gengur upp í
þriðju hverri tölu í töluröðinni.
|
| 8.
|
Hver verður afgangurinn þegar 3
er deilt í 1692123?
Lausn:
Hugsum okkur að talan 1692123 sé skrifuð 1692 * 1692 * ...
* 1692 alls 123-svar sinnum. Við deilum nú með 3 í fyrstu töluna - rétt
eins og þegar við styttum á striki. Deilingin gengur upp því 1692 : 3 =
584 svo að útkoman verður 584* 1692122 og enginn afgangur.
|
| 9.
|
Hver verður afgangurinn þegar 3
er deilt í 1465127?
Lausn:
Deilum 1465 : 3 = 488 +1/3 sem merkir að rita má töluna 1465 = (3*488 + 1).
Skoðum andartak margfeldi stærðarinnar (a + 1)5 og tökum eftir
því að út koma margir liðir sem allir innihalda a - nema einn. Hann
inniheldur aðeins 1 - jafnvel þótt hann sé ritaður í 5. veldi.
Þetta notfærum við okkur og umritum 1465127 = (3*488 + 1) *
(3*488 + 1) * ... * (3*488 + 1) alls 127 sinnum. Þegar þessir svigar hafa
allir verið margfaldaðir saman verður stærðin 3*488 þáttur í öllum
þeim liðum sem koma út - nema í einmu liðnum og hann er 1 í veldinu 127
= 1. Hann er eini liðurinn sem 3 ganga ekki upp í. Afgangurinn við
deilinguna er því 1.
Niðurstaða:
Ef við getum fundið að afgangur við deilingu í rótina er 1 eða -1 þá
vitum við að afgangurinn er sú tala í viðkomandi veldi. Hér er 1
afgangur þegar deilt er í rótina. Afgangurinn er þá 1 í veldinu 127 = 1.
|
| 10.
|
Hver verður afgangurinn þegar 3
er deilt í 1463127?
Lausn:
Deilum 1463 : 3 = 487 + 2/3 = 488 - 1/3
Umritum 1463 = 3*488 -1
Afgangurinn verður þá (-1)127 = -1.
Venjulega er afgangur miðaður við lægstu pósitífu tölu sem gengur af
við deilinguna. Hún er 2.
|
| 11.
|
Tölu er skipt í kafla aftan
frá, þannig að þrír stafir eru í hverjum kafla meðan til vinnst en
þrír eða færri í þeim fremsta. Nú eru lagðir saman annar hver kafli en
hinir dregnir frá. Sanna að ef 7 gengur upp í þennan mismun þá gangi 7
upp í töluna en annars ekki.
Lausn:
Ef talan í aftasta kaflanum er nefnd a, talan í þeim næsta kölluð b,
þá c, d, e, ...o.s.frv. má rita aðaltöluna þannig: a + 1000*b + 10002*c
+ 10003*d + 10004*e + ...
Nú er það svo að þegar 7 er deilt í 1000 verður afgangurinn -1. Við
deilum nú 7 í a með því að hafa það núll sinnum og fáum afganginn a.
Eins gerum við þegar við deilum í 1000*b og höfum afganginn -b. Næsti
hluti fær afganginn (-1)(-1)c = c og sá þriðji (-1)3*d = -d
o.s.frv..
Afgangurinn verður því samtals a - b + c - d + ... og ef 7 gengur upp í
þessum samanlagða afgangi þá gengur 7 upp í aðaltölunni.
|
| 12.
|
Sanna, að til þess að prófa
hvort 13 gangi upp í tölu, megi hafa sömu reglu og um 7 í dæmi 11.
Lausn:
Þegar 13 er deilt í 1000 fæst afgangurinn -1. Sönnunin er því eins og í
dæmi 11.
|
| 13.
|
Leysið teljara og nefnara, hvorn
um sig, upp í þætti og styttið síðan brotið: (a17 - a8)/(a13
- a4).
Lausn:
(a17 - a8)/(a13
- a4) = a8(a9 - 1)/a4(a9
- 1)= sem leysa má frekar upp en að lokum styttist svo allt út og verður = a4
|