Forsíða

Reiknitorg * Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan 

Algebra - Æfing  X - svör
 Uppsettar og óuppsettar jöfnur 
þar sem óþekktu stærðirnar eru fleiri en ein
Sendu mér póst ef þú finnur villur! 

1.
 I: x + 2y = 8
II: 3x + 2y = 14

Lausn:
II - I = III: 2x = 6 sem gefur x = 3
sem innsett í I gefur 3 + 2y = 8 <=> 2y = 5 <=> y = 2 1/2

2.
 I: x = 2y - 1
II: y = 2x - 1

Lausn:
x úr I sett inn í II:
y = 2(2y - 1)  - 1 <=> 3y = 3 <=> y = 1
sem innsett í I gefur: x = 2*1 - 1 = 1

3.
  I: x + 1 = y + 7
II: x - 7 = -y + 1

Lausn:
I: x - y = 6
II: x + y = 8
I + II = III: 2x = 14 <=> x = 7
sem innsett í II gefur 7 + y = 8 <=> y = 1

4.
 I: 7x - 4y = 81
II: 5x - 3y = 57

Lausn:
3*I = III: 21x - 12y = 243
4*II= IV: 20x - 12y = 228
III - IV = V: x = 15 
sem innsett í II gefur 5*15 - 3y = 57 <=> 3y = 18 <=> y = 6

5.
  I:  4x/5 -  y/7 = 7 3/5 
II:  7x/12 +  2y/3 = 16 1/3 

Lausn:
35*I = III: 28x - 5y = 266
12*II=IV: 7x + 8y = 196
4*IV = V: 28x + 32y = 784
V - III = VI: 37y = 518 <=> y = 14
sem innsett í IV gefur 7x + 8*14 = 196 <=> 7x = 84 <=> x = 12

6.
 I: x + 2y + 3z = 14
II: 2x + y + 2z = 10
III: 3x + 4y - 3z = 2

Lausn:
Eyðum z úr tveimur jöfnum:
I+II=IV: 4x + 6y = 16 <=> 2x + 3y = 8
3*II+2*III=V: 12x + 11y = 34
Eyðum x úr IV og V:
6*IV-V=VI: 7y = 14 <=> y = 2

Sem innsett í IV gefur 2x + 3*2 = 8 <=> 2x = 2 <=> x = 1

Þessar lausnir á x og y settar inn í I gefa:
1 + 2*2 + 3z = 14 <=> 3z = 9 <=> z = 3

7.
  I: x + y + z = 90
II: 2x - 3y = - 20
III: 2x + 3z = 145

Lausn:
Eyðum z:
3*I-III=IV: x + 3y = 125

Eyðum y úr II og IV:
II+IV=V: 3x = 105 <=> x = 35
sem innsett í IV gefur 35 + 3y = 125 <=> 3y = 90 <=> y = 30

Þessar lausnir á x og y settar inn í I gefur
35 + 30 + z = 90 <=> z = 25

8.
 I: x + y + z = 13
II: y + z + t = 39
III: z + t + x = 37
IV: t + x + y = 31

Lausn:
Leggjum allar jöfnurnar saman:
V: 3x + 3y + 3z + 3t = 120 <=> x + y + z + t = 40
Nú fást lausnirnar með því að draga jöfnurnar I til IV frá V:
V-I: t = 27
V-II: x = 1
V-III: y = 3
V-IV: z = 9 

9.
 I:  (3 + x)/y = (5 + x)/(y + 1) 
II:  (1 + y)/(x - 1) =  (1 - y)/(3 - x) 

Lausn:
y(y+1)*I einfaldast í III: x - 2y = - 3
(x-1)(3-x)*II einfaldast í IV: x - y = 2
sem gefa x = 7 og y = 5

10.
 		  I:  (4x - 15)/7 + 1 = y - (3 +  (3y - 8)/6 )
II:  (3y - 5)/11 = x -  (3y - 5)/4 

Lausn:
I einfaldast í III: 24x - 21y = - 22
II einfaldast í IV: 44x - 45y = - 75
sem gefa x = 3 3/4 og y = 5 1/3    

11.
  I:  (x + b)/a + 1 = y
II:  (y + a)/b + 1 = x

Lausn: 
I einfaldast í III: x - ay = - (a + b)
II einfaldast í IV: bx - y = (a + b)
Sem gefa lausnirnar:

x =  (a + 1)(a + b)/(ab - 1) 
y =  (b + 1)(a + b)/(ab - 1) 

12.  I: bx - ay = a + b
II: x/(a + 1) + y = b

Lausn:
II einfaldast í III: x + (a + 1)y = b(a + 1)
b*III gefur IV: bx + b(a+1)y = b2(a + 1)
- 1*I gefur V: -bx + ay = -(a+b)
sem gefur VI: y(a + b(a+1)) = b2(a + 1) - (a+b)
og lausnirnar: 

x = a + 1
y = b - 1

13.  I: x + y + z = 1
II: ax + by + cz = p
III: a2x + b2y + c2z = p2 

Lausn:
x =  (p - b)(p - c)/(a - b)(a - c) 
y =  (p - c)(p - a)/(b - c)(b - a) 
z =  (p - a)(p - b)/(c - a)(c -b)      

14.
 Tvær konur, A og B, keyptu tvær tegundir af dúki og kostaði önnur tegundin 2 kr. metrinn en hin 3 kr. A borgaði fyrir það sem hún keypti kr. 27 en B, sem keypti jafn mikið af þeim dýrari og A af þeim ódýrari og jafn mikið af þeim ódýrari eins og A af þeim dýrari, borgaði 23 kr. Hve mikið keypti hvor þeirra af hvorri tegundinni?

Lausn:
A keypti x metra af ódýrari tegundinni og y metra af þeirri dýrari.
I: 2x + 3y = 27
B keypri x metra af dýrari tegundinni og y metra af þeirri ódýrari.
II: 3x + 2y = 23

Sem gefa x = 3 og y = 7. 

15.
  		 Hvaða brot er það sem verður  1/2 ef einum er bætt við nefnarann en  3/5 ef einum er bætt við teljarann?

Lausn:
Teljarinn er x og nefnarinn er y.
I: x/(y+1) = 1/2
II: (x+1)/y = 3/5

Sem gefur x = 8 og y = 15. Brotið er 8/15.

16.
 		 Hvaða tveggja stafa tala er það sem er fjórum sinnum stærri en stafasumma hennar og stækkar um 18 ef skipt er um stafina?

Lausn:
Fyrri tölustafurinn er x og sá síðari er y. Talan er þá: 10x + y.
I: 10x + y = 4(x + y)
II: 10y + x = (10x + y) + 18

sem gefur x = 2 og y = 4 og talan er þá 24.

17.
 431		 Finndu þriggja stafa tölu sem endar á 1. Hún á að minnka um 90 ef skipt er um tvo fremstu stafina en um 297 ef henni er snúið við (þ.e.: stafaröðin lesin öfugt). 

Lausn:
Talan er 100x + 10y + 1
I: 100y + 10x + 1 = (100x + 10y + 1) - 90
II: 100 + 10y + x = (100x + 10y + 1) - 297

sem gefur x = 4 og y = 3 sv að talan er 431.

18.
 Húsfreyja vistaði til sín tvær vinnukonur. Átti hvor þeirra að fá í árskaup 240 kr. í peningum og auk þess kjól og eina stígvélaskó. Önnur fór úr vistinni eftir 8 mánuði og fékk í kaup 160 kr. og kjólinn. Hin fór eftir 10 mánuði og fékk 248 kr. og stígvélaskóna. Hvers virði var kjóllinn talinn og hvers virði stígvélaskórnir?

Lausn:
Kjóllinn kostaði x
Stígvélaskórnir kostuðu y
Árskaupið er (240 + x+ y)
I: 8(240+x+y)/12 = 160+x
II: 10(240+x+y)/12 = 248+y

sem gefa x = 64 og y = 32.

19.
 Maður nokkur hafði vátryggt hús sitt og innanstokksmuni. Fyrir húsið átti hann að borga árlega  3/8 % af virðingarverði þess en fyrir innanstokksmunina  1/5 % af virðingarverði þeirra, alls kr. 64,80. Nú reiknaði umboðsmaður vátryggingarstofnunarinnar af gáleysi 3/8 % af verði innanstokksmunanna en 1/5 % af húsverðinu og fékk þá út 57,10 kr. alls. Reiknaðu virðingarverðin. 

Lausn:
Húsið er virt á x
Innanstokksmunirnir eru virtir á y
I:  3x/800 + y/500 = 64,80
II: x/500 + 3y/800 = 57,10

sem gefur x = 12800 og y = 8400

20.
 A og B léku að tafli. A átti að greiða B 3 kr. fyrir hvert tafl sem hann tapaði en B átti að greiða A 2 kr. fyrir hvert tapað tafl. Þegar þeir hættu hafði A grætt 3 kr. En hefði A átt að greiða 5 kr. fyrir hvert tapað tafl og B 2 kr. og hefði ennfremur A tapað einu tafli fleira en hann gerði af jafn mörgum töflum alls þá hefði A tapað 30 kr. Hve mörg töfl hefur hvor um sig unnið?

Lausn:
A vann x töfl og tapaði y
B vann y töfl og tapaði x
I:  2x - 3y = 3
II: 2(x-1) - 5(y+1) = - 30

sem gefur x = 21 og y = 13.

21.
 Á skotkringlu eru þrír sammiðja hringir, hver með tiltekinni stigatölu. Summa stigatalnanna er 11. Maður skýtur 5 skotum í innsta hinginn, 2 í miðhringinn og 3 í ysta hringinn. Fyrir þessi skot fær hann 44 stig. Annar maður skýtur einu skoti í innsta hringinn, 6 í miðhringinn og 5 í ysta hringinn. Hann fær 30 stig. Reiknaðu stigatölu hvers hrings.

Lausn:
Stigatala innsta hringsins er x
Stigatala mið-hringsins er y
Stigatala ysta hringsins er z
I:   x + y + z = 11
II:  5x + 2y + 3z = 44
III: x + 6y + 5z = 30

sem gefur x = 7, y = 3 og z = 1. 

22.
 Finndu þriggja stafa tölu með stafasummunni 9. Hún á að vera þannig að ef fremsti stafurinn er settur aftur fyrir hina verður hún fjórðungi (25 %) minni en hún var. Sé hins vegar aftasti stafurinn settur fram fyrir hina verður hún þriðjungi (33 1/3 % ) stærri en hún var.

Lausn:
Talan er 100x + 10y + z
I:  x + y + z = 9
II: 100y + 10z + x = 3(100x + 10y + z)/4
III: 100z + 10x + y =4(100x + 10y + z)/3

sem gefur x = 3, y = 2 og z = 4. 

23.
 Þrír strákar, A, B og C, eiga nokkra aura hver. Þeir komu sér saman um að fyrst skyldi A gefa B og C hvorum eins mikið og þeir áttu hvor um sig. Síðan skyldi B gefa C og A eins mikið hvorum og þeir nú eiga hvor um sig. Loks skal C gefa þeim A og B eins mikið hvorum og þeir eiga. Eftir þetta eiga strákarnir allir jafnt, 40 aura hver. Hve mikið átti hver í fyrstu?

Lausn:
A átti x
B átti y
C átti z
(1) A gefur. Eftir það á hver þeirra svo sem hér segir:
A á (x - y - z), B á 2y og C á 2z.
(2) B gefur. Eftir það er staðan þessi:
A á 2(x - y - z), B á (2y - (x - y - z) - 2z) og C á 4z.
(3) C gefur. Nú eiga þeir 40 aura hver um sig - svona:
A: 4(x - y - z) = 40
B: 2(2y - (x - y - z) - 2z) = 40
C: 4z - 2(x - y - z) - (2y - (x - y - z) - 2z) = 40

sem gefur x = 65, y = 35 og z = 20.

24.
 Finn þriggja stafa tölu. Miðstafurinn á að vera meðaltal hinna. Talan á að minnka um 396 ef henni er snúið við og stafasumman á að vera yfir 20. 

Lausn:
Talan er 100x + 10y + z
I: y = (x+z)/2 <=> (x+z) = 2y
Stafasumman er x + y + z = y + (x+z) = y + 2y = 3y.
Ath. Tiltekið er að stafasumman 3y > 20 sem merkir að y > 6.
Textinn segir að
100x + 10y + z = 100z + 10y + x + 396
sem samandregið gefur:
x - z = 4 
sem sýnir að mismunur talnanna x og z er 4. Það merkir að y getur ekki verið hærri en 7. (Ef y væri 8 þyrfti x að vera 10!) svo að y = 7 og þá er x = 9 og z = 5 og talan er þá 975. 

25.
.		 A fer í bíl frá Akureyri fram til Grundar í Eyjafirði og þaðan tafarlaust aftur til Akureyrar. Þegar A er kominn þriðjung vegar til Grundar leggur B af stað sömu leið ríðandi. Bíllinn fer fjórum sinnum hraðar en hesturinn á framleið (frá Akureyri til Grundar) en eykur  1/4 við hraða sinn á útleið. Aftur tefst A við það að þegar hann er kominn  1/10 hluta vegar frá Grund til Akureyrar verður hann að snúa við aftur heim að Grund. Hann heldur hinum aukna hraða óbreyttum og stendur ekkert við. Hvar hittast A og B?

 

Lausn:
B fer á hraða hestsins sem er x og kemst y hluta leiðarinnar á tímanum y/x. 
A ekur bílnum á hraðanum 4x á útleið en á hraðanum 5x á innleið. 
Vegalengdin frá Akureyri til Grundar er 1 eining. 
Aksturstíminn er:
Fyrsta þriðjung leiðar ekur A á (1/3)/4x og þá leggur B af stað.
Það sem eftir er til Grundar ekur A á (2/3)/4x og hefur þá alls verið 1/4x á leiðinni.
Til baka ekur hann aukalega 2/10 og í það fer tíminn (2/10)/5x.
Nú ekur hann allt það sem B ekki kemst yfir af leiðinni til Grundar en það er (1-y) og í það fer tíminn (1-y)/5x
Á meðan öllu þessu fer fram ferðast B leið sína á tímanum y/x
Þeir hittast þegar liðinn er tíminn (1/3)/4x + y/x (B-tíminn)
sem er einmitt aksturstíminn: 
1/4x + (2/10)/5x + (1-y)/5x og þannig fæst jafnan:
 (1/3)/4x + y/x = 1/4x + (2/10)/5x + (1-y)/5x 

Þetta er merkileg jafna með tveimur óþekktum.
Margföldum gegnum jöfnuna með x og einföldum hvern lið hennar.
Þá styttist x út úr öllum liðum og jafnan verður svona - með aðeins eina óþekkta stærð::
1/12 + y = 1/4 + 1/25 +1/5 -y/5
sem lagað verður 6y/5 = 122/300 og gefur y = 61/180. 
B komst á hestinum 61/180 hluta leiðarinnar frá Akureyri til Grundar áður en hann mætti A á bifreiðinni. 

(Prófdæmi til gagnfræðaprófs í Akureyrarskóla vorið 1915.)

26.
 		 Í þremur pokum er sama tegund af brenndu og möluðu kaffi en misjafnlega mikið í hverjum poka. Í miðpokanum er 750 grömmum meira en í þeim minnsta. Í stærsta pokanum er helmingi meira en í  hinum minnsta og hálfu kg. betur. Miðpokinn er 25,20 kr. dýrari en sá minnsti en 42 kr. vantar til að stærsti pokinn kosti þrefalt verð þess minnsta. Hve mörg kg. eru í hverjum poka og hve mikið kostar hver poki?

Lausn:
Í minnsta pokanum eru x kg.
Í mið-pokanum eru (x + 0,75) kg.
Í stærsta pokanum eru (2x + 0,5) kg.
Miðpokinn er 0,75 kg þyngri en sá minnsti og hann er 25,20 kr. dýrari.
Það merkir að 0,75 kg kosta 25,20 kr og kílóverðið er 25,20/0,75 = 33,60 kr.
Textinn segir að þrefalt verð minnsta pokans er 42 krónum meira en verð stærsta pokans. Jafnan verður þannig:
3*33,60*x - 42 = 33,60*(2x + 0,5) 
sem einfaldað verður 33,6 x = 58,8 og gefur x = 1,75.
Minnsti pokinn vegur 1,75 kg og kostar 58,80 kr.
Miðpokinn vegur 2,5 kg, og kostar 84 kr.
Stærsti pokinn vegur 4 kg og kostar 134,40 kr.

Efst á þessa síðu * Forsíða * Reiknitorg *  Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan