Reiknitorg * Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan 

Algebra - Sýnidæmi  VIII - a
Óuppsettar jöfnur
úr Kennslubók í algebru eftir Ólaf Daníelsson

Samt
er það
svo ..

Ef þú lætur x merkja eitthvað annað þá áttu í lokin eftir að reikna áfram uns þú finnur það sem um var beðið. Ef dæmið er flókið og reikningar mikilir - eða ef tímapressa er á þér - þá er hætt við að þú gleymir þeim lokakafla þegar x-ið er loksins fundið og hættir því áður en dæmið er leyst.

dæmi

Svar: x = 12. 

dæmi

Lausn:
Spurt er hversu gamall Alexander er núna.
Alexander er x ára.
Orðalagið segir:
Aldurinn fyrir 18 árum = (aldurinn fyrir 8 árum) / 2

Uppsetta jafnan lítur þá svona út:
(x - 18) = (x - 8) / 2 

Svar: x = 28

dæmi

Lausn:
Spurt er hve íblöndunin þarf að vera mörg kg.
Íblöndunin er x kg.
Orðalagið segir:
(x * 550 + 40 * 600) + 3400 = (x + 40) * 625 

Svar: x = 32 

dæmi

Lausn:
Spurt er hvað klukkan verður orðin þegar þetta gerist. Hér er erfitt að setja þá stöðu klukkunar sem x svo að við veljum aðra stærð.
Svarið verður: Þegar klukkan er gengin x mínútur í 4.
Vitað er að stóri vísirinn gengur tólf sinnum hraðar en sá litli. Litli vísirinn er staddur á tölunni 3 sem er í 15 mínútna fjarlægð frá tölunni 12 - þaðan sem stóri vísirinn leggur af stað. 
Þegar klukkan er x mínútur gengin í 4 hefur stóri vísirinn gengið x mínútur en sá litli x/12 mínútur. Litli vísirinn er þá kominn í stöðuna 15 + x/12 en það er einmitt þangað sem stóri vísirinn er kominn á sínum x mínútum. 
Jafnan er því svona:
15 + x/12 = x

Útreikningur gefur x =  16 ⁴/₁₁ - en þetta er ekki nægilegt svar. 
Svar: Klukkan er gengin 16 ⁴/₁₁ mínútur í fjögur.

dæmi

Lausn:
Spurt er hver talan er.
Talan er x.
Orðalagið segir:
(Talan án fyrsta stafsins) með einn fyrir aftan = Talan + 225.

Þetta er þriggja stafa tala og byrjar á einum. Þetta er því eitt hundrað og eitthvað. Það er því nóg að draga frá henni töluna 100 til að fá tveggja stafa töluna sem verður til þegar tölustafurinn 1 fellur framan af.
Talan án fyrsta stafsins er (x - 100)

Að setja einhvern tölustaf (hér: tölustafinn 1) aftan við þá tölustafi sem fyrir eru í tölu.
Þetta gerum við með því að margfalda töluna með 10. Þá kemur núll aftan við stafina sem fyrir eru. Síðan bætum við tölu tölustafsins við. Hér bætum við einum við.  
Talan án fyrsta stafsins - að viðbættum einum fyrir aftan 
er þá (x - 100) * 10 + 1

Þetta er nú sett inn í jöfnu orðalagsins:
(x - 100) * 10 + 1 = x + 225

Svar: x = 136

dæmi

Lausn:
Spurt er um upphaflega eign A og B.
A átti x 
B átti (100 - x) 
Við verðum að muna að koma þessu til skila þegar búið er að reikna gildið á x. 
Orðalagið segir að 
^x/₁₃ = ^{(100 - x)}/₇ 

Svar: x = 65 
- en hvað var nú aftur spurt um?
Já - alveg rétt. 
Þetta merkir að A átti 65 kr. og B átti 35 kr. 

dæmi

Lausn:
Fimm-eyringar eru x
Tví-eyringar eru (23 - x)
Í fimm-eyringum er þá samtals 5x aurar og í tvíeyringum samtals 2(23 - x) aurar sem samtals eru ein króna eða 100 aurar. Þetta er jafnan:
5x + 2(23 - x) = 100

Svar: x = 18
sem merkir að það vor 18 fimmeyringar og 5 tvíeyringar.

dæmi

Dós með pillum í kostar 1,40 kr. full en 0,75 kr. hálf. Hvað kostar hún tóm?

Lausn A:
Dósin kostar x aura.
Helmingurinn af pillunum kostar 140 - 75 = 65 aura.
Dósin + 2 * verðið á helmingi pillanna = 140 
sem er jafnan:
x + 2 * 65 = 140

Svar: x = 10 aurar.

Lausn B:
Dósin kostar x aura.
Dósin + helmingurinn af pillunum = 75 
sem er jafnan:
x + 65 = 75 - sem gefur sömu  lausn.

Lausn C:
Dósin kostar x aura.
Full dós - (hálf dós + dósverðið) = Hálf dós - dósverðið
sem er jafnan:
140 - 75 = 75 - x - sem gefur líka x = 10.

dæmi

Lausn A:
Kaupverð vörunnar er x
Heimflutningurinn kostaði ^2x/₁₀₀ 
Tapið var 7 % af kaupverði + heimflutningi sem er (x + ^2x/₁₀₀) *7 _{/ 100} 
Kaupverð + heimflutningur - tap = 1422,90
sem er jafnan:
x + ^2x/₁₀₀ - (x + ^2x/₁₀₀) *7 _{/ 100} = 1422,90 

Svar: x = 1500

Lausn B:
Kaupverð vörunnar er x
Heimflutningurinn hækkaði verðið um 2 % 
Þá var það orðið x * ¹⁰²/₁₀₀ 
Tapið lækkaði þessa tölu um 7 % svo að hún varð aðeins 93 % af sjálfri sér.
Þá var hún orðin  x * ¹⁰²/₁₀₀ * ⁹³/₁₀₀ sem er einmitt það sem fékkst fyrir hana.
Þetta er jafnan:
x * ¹⁰²/₁₀₀ * ⁹³/₁₀₀ = 1422,90    - sem gefur sömu lausn. 

Ef þú lætur x merkja eitthvað annað þá áttu í lokin eftir að reikna áfram uns þú finnur það sem um var beðið. Ef dæmið er flókið og reikningar mikilir - eða ef tímapressa er á þér - þá er hætt við að þú gleymir þeim lokakafla þegar x-ið er loksins fundið og hættir því áður en dæmið er leyst.

Samt er það svo 
að stundum hentar það mjög vel fyrir útreikningana að kalla einmitt aðrar stærðir óþekktar! Þetta er þá ýmist gert eftir - eða áður - en jöfnurnar eru settar upp. 

dæmi

Lausn:
Hér hentar mun betur fyrir útreikningana að láta ekki x og y vera hinar óþekktu stærðir. Heppilegra er að skíra  ¹/_x og  ¹/_y nýjum nöfnum - svona:

 ¹/_x = u
 ¹/_y = v

nú verða jöfnurnar svona:

2u + 3v = 7
7u - 8v = - ¹/₆ 

Úr þessum jöfnun fást lausnirnar: 
u = 1 ¹/₂ = ³/₂ sem merkir að x = ¹/_u = ¹/_(3/2) = ²/₃ 
v = 1 ¹/₃ = ⁴/₃ sem merkir að y = ¹/_v = ¹/_(4/3) = ³/₄ 

dæmi

Lausn:
Orðalagið tengir fjölda raðanna og fjölda laukanna. Ef laukarnir hefðu verið 26 færri hefðu þeir dugað nákvæmlega í raðirnar. Fjöldi þeirra hefði þá verið (raðirnar)². Ef þeir hins vegar hefðu verið 11 fleiri hefðu þeir verið (raðirnar + 1)². Þetta er jafnan.

A: Laukarnir eru x
Jafnan verður svona:
kvaðratrót_af(x - 26) + 1 = kvaðratrót_af(x + 11)

B: Raðirnar eru x
Orðalagið segir að laukafjöldinn sé (raðirnar)² + 26 
en hefði líka geta reiknast sem (raðirnar+1)²- 11.  
Þetta er jafnan:
x² +26 = (x+1)² - 11 

sem gefur x = 18 og laukafjöldann 18² +26 = 350.  

C: Laukarnir eru x og raðirnar eru y.
 I: x = y² + 26 
II: x = (y + 1)² - 11 = y² + 2y - 10

II - I: 0 = 2y - 36 sem gefur y = 18 og innsett í I eða II fæst x = 350.

dæmi

Líkt fer nú fyrir B. Hann gleymir tveimur geymdum á næsta sæti fyrir framan, þar sem A gleymdi sínu. Þegar B fer nú að deila með lægri tölunni í margfeldið, til þess að prófa reikninginn, fær hann í kvótann 540 og afganginn 55.

C gleymir þremur geymdum á sætinu næst fyrir framan, þar sem B gleymdi sínu. Hann prófar eins og hinir og fær í kvóta 507 og 60 í afgang. Finndu tölurnar sem þeir A, B og C voru að margfalda. 

Lausn:
A: Tölurnar eru: lægri talan er x og hærri talan er y.
Skekkjan hjá C er 300-föld skekkjan hjá A og skekkjan hjá B sem er 20-föld skekkjan hjá A.
Skekkjan hjá A er 1 eða 10 eða 100 eða eitthvert veldi af tíu - allt eftir því hvar gleymskan gerðist. Þetta er á floti. Við festum það með því að gefa skekkjunni hjá A nafnið z.
Þessar þrjár setningar textans skila þremur jöfnum - svona:

 I: xy - z = 542x + 75
II: xy - 20z = 540x + 55
III: xy - 300z = 507x + 60

Hér eyðirðu margfeldinu xy út úr jöfnunum og færð tvær jöfnur með x og z.

A (I - II): 19z = 2x + 20 <===> 665z = 70x + 700
B (I - III): 299z = 35x + 15 <=> 598z = 70x + 30

C (A - B): 67z = 670 sem gefur z = 10. Það reynist sem sagt nauðsynlegt að reikna út hver skekkjan er.

Innsett í A eða B skilar lægri tölunni x = 85.
Þessi gildi innsett í jöfnu I (eða II eða III) gefa hærri töluna y = 543

B: Lægri talan er x, margfeldið er y og skekkjan er z

Við fylgjum orðalaginu: A deilir lægri tölunni í sitt margfeldi sem er skekkjunni lægra en rétt margfeldi og fær í kvótann 542 og afganginn 75 þ.e.:

I:   (y - z)/x = 542 + 75/x
II:  (y - 20z)/x = 540 + 55/x
III: (y - 300z)/x = 507 + 60/x

Margföldum báðar hliðar jafnanna með x og fáum:

I:   y - z = 542x + 75
II:  y - 20z = 540x + 55
III: y - 300z = 507x + 60

Eins og í fyrra sinnið er einfalt að eyða margfeldinu úr jöfnunum og leiða út tvær jöfnur í x og z.
Niðurstaðan verður sem fyrr að mizmunurinn z = 10 og lægri talan x = 85.
Svo fæst einnig að margfeldið er 46155. Þá þarf að muna að leitað er að hærri tölunni.
Hún fæst með því að deila í margfeldið með 85 og er 543.