Forsíða

Reiknitorg * Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan 

Algebra - Æfingar II - svör

Sendu mér póst ef þú finnur villur! 

Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. 2 . 3 . a . (- 4) . b . a . (- 2b) = + 48a2b2
  2. 2a . 3x . (-4bx) . ab . cx = - 24a2b2cx3 
  3. abxc2 . 2a . 3b . (- c) . x12 . (- 1) = + 6a2b2c3x13 
  4. ax2 . 3a3x5 = 3a4x7 
  5. 3a (x + a) . b (x + b) . ab (x + a) (x + b) = 3a2b2 (x + a)2 (x + b)2 
  6. a . (- 1) . b . (- 2) . c . (- 3) . d . (- 4) = 24abcd 
  7. 3x . 2a . 2x3 . 3a2 . 4x . 3abcx = 432a4bcx6 
  8. x100 . x.361  = x461 
  9. xn . x2 . a2 . a.3 . 3ab  = 3a6bxn+2 
  10. 3xyp . yq . x3 . a  = 3ax4yp+q 
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. a (x + 2) = ax + 2a
  2. (x + a - 3) . b = bx + ab - 3b
  3. (x2 - a + 1) . 3x  = 3x3 - 3ax + 3x
  4. (4ax + b2) . ax = 4a2x2 + ab2x 
  5. (5a +3) . 2a3b = 10a4b + 6a3b 
  6. (ax2 + bx3) . cx15 = acx17 + bcx18 
  7. (ax3 + b5x) . abx = a2bx4 + ab6x2 
  8. (a2 - 3 + b2) . ab2c = a3b2c - 3ab2c + ab4c 
  9. (2a3xc + 1) . ax = 2a4x2c + ax
  10. (axn + b) . ax = a2xn+1 + abx 
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. (a + b) (a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 
  2. (a - 3b) (a + b) = a2 - 2ab - 3b2 
  3. (a - 1) (a - 3) = a2 - 4a + 3
  4. (x - 17) (x + 50) = x2 + 33x - 850
  5. (x + a - 1) (x + 3) = x2 + ax + 2x + 3a - 3
  6. (ax + b) ( cx + d) = acx2 + bcx + adx + bd
  7. (px2 + qy) (ax2 + by) = apx4 + aqx2y - bpx2y + bqy2 
  8. (3x2y + 6xy2) (7xy2 + 8x2y) = 69x3y3 + 24x4y2 + 42x2y4 
  9. (2x2 + 3xy + 4y2) (x - y) = 2x3 + x2y + xy2 - 4y3 
  10. (7x13y17 + 8x17y13) (3x2y3 + 5x.3y2) =  21x15y20 + 24x19y16 + 35x16y19 + 40x20y15 
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. ax(b + x) (c + x) = abcx + abx2 + acx2 + ax3 
  2. 2x(x + 3) (x - 4) = 2x3 - 2x2 - 24x
  3. (x + 1) (x - 2) (x + 5) = x3 + 4x2 - 7x - 10
  4. (3x + 7) (3x + 8) (x - 1) = 9x3 + 36x2 + 11x - 56
  5. (4x2 + 1) (2x + 1) (2x - 1) = 16x2 - 1
  6. Notaðu samokaregluna [A2 - B2 = (A + B) (A - B)] til að reikna án tölvu:
    6749582 - 6749572 = (674958 + 674957) (674958 - 674957) = 1349915 .     1 = 1349915
  7. (a + 5)2 - (a + 3)2 = [(a + 5) + (a + 3)] [(a + 5) - (a + 3)] =[2a + 8] . [2] = 4a + 16 
  8. (a + 17) (a - 17) = a2 - 172 = a2 - 289
  9. (a + b - 3) (a - b + 3) = [a + (b - 3)] [a - (b - 3)] = a2 - (b - 3)2 = a2 - b2 + 6b - 9
  10. (a - 17) (a + 17) (a2 + 289) = (a2 - 289) ( a2 + 289) = a4 - 2892 = a4 - 83521
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. Hver er hægasta aðferðin við 35. dæmi?
    Svar: Nota samokaregluna og margfalda saman seinni svigana tvo. Þá verður dæmið þannig: (4x2 + 1) (4x2     - 1) og nota svo aftur samokaregluna við þetta margfeldi til að fá út 16x4 - 1 
  2. (a + 4)2 = a2 + 8a + 16
  3. (a + 3b)2 = a2 + 6ab + 9b2 
  4. (5a + 7b)2 = 25a2 +70ab + 49b2 
  5. (a - 13x)2 = a2 - 26ax + 169x2 
  6. (a2 - 4m)2 = a4 - 8a2m + 16m2 
  7. (2a - 3px)2 = 4a2 -12apx + 9p2x2 
  8. (6a3 - 7ab)2 = 36a6 - 84a4b + 49a2b2 
  9. (11a - 17p2c)2 = 121a2 - 374acp2 + 289c2p4 
  10. (3a + b + k)2 = 9a2 + b2 + k2 + 6ab + 6ak + 2bk
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. Sanna regluna: (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 + 2BC + 2AC + 2AB
    Sanna skal að vinstri hliðin V = (A+B+C)2 sé jöfn 
    hægri hliðinni H = A    2 + B2 + C2 + 2BC + 2AC + 2AB
    .
    Sönnun I: V = (A+B+C)    2 = (A+B+C)(A+B+C) og margfalda síðan þessa tvo sviga saman. Þegar margfeldið hefur verið dregið saman verður útkoman = H.
    .
    Sönnun II: Vinstri hliðina má umrita þannig: V = (A+B+C)    2 = ([A+B]+C)2 sem síðan má hefja upp í veldi eftir ferningsreglunni sem gefur V = [A+B]2 + 2[A+B]C + C2.  Aftur notum við ferningsregluna á svigann [A+B]2 og fáum þá að V = A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2     sem sýnilega er = H. 
    Q.E.D. = Quod erat demonstrandum = Sem er það sem sanna átti.  
  2. (a + 1) (a + 2) - (a - 1) (a - 2) = 6a
  3. (x + 4) (x + 5) - (x + 3) (x - 7) = 13x + 41 
  4. (4x2 - 1) (x + 1) - (4x2 + 1) (x - 1) = 8x2 - 2x
  5. (ax + b) (cx + d) - (ax - b) (cx - d) = 2bcx + 2adx 
  6. (6ab + 3) (7ab - 1) - (a + 3b) (a + 5b) = 42a2b2 + 7ab - a2 - 15b2 - 3
  7. (5x + a - 3) (4x + 2a - 1) - (a - x) (x + 1) = 21x2 + 13ax + 2a2 - 8a - 16x + 3 
  8. Sanna reglurnar - þ.e. sanna að V(instri hlið) = H(ægri hlið):
    Regla 1: [V = (a + b)3 ] = [a3 + b3 + 3ab(a + b) = H]
    Sönnun: V = (a + b)3 = (a + b)    2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = H.
    Regla 2: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 
    Sannað eins og regla 1. 
    Regla 3: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
    Sjá sönnun á reglu 4.
    Regla 4: V = a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) = H
    Sönnun: H = (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2     - b3 = a3 - b3 = V.
  9. (a + 1)3 - (a - 1)3 = 6a2 + 2
  10. (a + 1)2 (a2 - a + 1) - (a - 1)2 (a2 + a + 1) = 2a3 + 2a
Rita
á sem
einfaldastan
hátt:
  1. (a - b + c - d)2 - (a + b - c - d)2 = 
    Lausn - með samokareglunni: 
    [(a - b + c - d) + (a + b - c - d)] [(a - b + c - d) - (a + b - c - d)] = 
    [2a - 2d] [- 2b + 2c] = - 4ab + 4ac + 4bd - 4cd 
  2. (a + 2b + 3c)2 - (a + 2b - c)2 = 
    Lausn: [(a + 2b + 3c) + (a + 2b - c)] [(a + 2b + 3c) - (a + 2b - c)] = 
    [2a + 4b +2c] [4c] = 8ac + 16bc + 8c    2      
  3. (7x - 3a + 1)2 - (7x + 3a + 1)2 = 
     Lausn: [(7x - 3a + 1) + (7x + 3a + 1)] [(7x - 3a + 1) - (7x + 3a + 1)] =
    [14x +2] [- 6a] = -84x - 12a 
  4. [(x2 - 1)2 + (x2 + 1)2] . (x4 - 1) = [2x4 + 2]  . (x4 - 1) = 2(x4 + 1)  . (x4 - 1) = 2(x8 -1) = 2x8 - 1
  5. (7a - 4)3 - (6a + 3)3 = 
    Þetta má auðvitað reikna beint með því að hefja svigana upp í þriðja veldi og draga saman. Hér verður hins vegar notuð regla 4 í 58. dæmi og þá þarf aðeins að nota ferningsregluna við að hefja sviga upp í annað veldi:
    = [(7a - 4) - (6a + 3)] [(7a - 4)2 + (7a - 4)(6a + 3) + (6a + 3)2]
    = [a - 7] [49a2 - 56a + 16 + 42a2 + 21a - 24a -12 + 36a2 + 36a + 9]
    = (a - 7) (127a2 - 23a + 13) = 127a    3     - 912a2 + 174a - 91 
  6. (a2 - a + 1)2 - (a + 1) (a + 2) + (a - 2)2 = a4 - 2a3 + 3a2 - 9a + 3 
  7. (a3 - a2 - a + 1)2 - (a3 + a2 - a - 1)2 = 
    Lausn - reiknuð með samokareglunni:
    [    (a3 - a2 - a + 1) + (a3 + a2 - a - 1)] [(a3 - a2 - a + 1) - (a3 + a2 - a - 1)] =
    [2a    3  - 2a] [- 2a2 + 2] = -4a5 + 8a3     - 4a 
  8. [(ax + 6) (ax - 7)]2 - (a2x2 + 1) a2x2 =  - 2a3x3 - 84a2x2 + 84ax + 1764
  9. (pnx + 3) (pmx - 2) - (px + m) (px - n) = mnp2x2 - p2x2 + 2mpx - npx + mn - 6
  10. (a + b)4 - (a - b)4 = 
    Lausn með samokareglunni:
    [    (a + b)2 + (a - b)2] [(a + b)2 - (a - b)2] =
    [2a2 +2b2] [4ab    ] = 8a3b + 8ab3 

Efst á þessa síðu * Forsíða * Reiknitorg *  Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan