Forsíða

1.4-Leiðbeiningar og lausnir (29.11.2001)

Dæmasafn á bls. 132:
Dæmi: 5, 6, 15

1. - 4.
dæmi:
Er fallið sem grafið sýnir samfellt á bilinu [-1,3] ?
Ef það er ekki samfellt - segðu þá hvar það er ekki samfellt - og hvers vegna.
5. - 10.
dæmi:
Þessi dæmi fjalla öll um fallið f(x) sem til er tekið framan við þau. Graf fallsins er á mynd 1.57.

5 - a: Er f(-1) til?
5 - b: Er lim f(x) til þegar x -> -1+ ?
5 - c: Er markgildið í b-liðnum = f(-1) ?
5 - d: Er f(x) samfellt í x = -1 ?

6 - a: Er f(1) til ?
6 - b: Er limx->1f(x) til ?
6 - c: Er markgildið í b-liðnum = f(1) ?
6 - d: Er f(x) samfellt í x = 1 ?

7 - a: Er f(x) skilgreint í x = 2 ?
7 - b: Er f(x) samfellt í x = 2 ?

8: Hvar er f(x) samfellt ?

9: Hvaða gildi þarf f(2) að taka til þess að f(x) verði samfellt í x = 2 ?

10: Hvaða breyting þyrfti að verða á gildinu í f(1) til þess að f(x) verðir samfellt í x = 1 ?

11. - 12.
dæmi:
Athugaðu föllin í dæmum 11 og 12 á bls. 96.
Segðu í hvaða punktum þau eru ekki samfelld.
Eru einhverjir punktar þar sem föllin eru ekki samfelld en unnt væri að gera þau samfelld með því að breyta f-gildi í punktinum? Rökstyddu svörin.
13. - 20.
dæmi:
Á hvaða bilum er fallið samfellt?
18. dæmi: Á hvaða bilum er fallið samfellt?

Lausn:
Skoðum tangens-fallið.

Þar sem er ljóst að cos v má ekki verða núll.
Vitað er að cos v = 0 ef v = pí/2 eða v = (pí/2 + p*pí) þar sem p er heil tala.
Þ.e.: cos pí/2 = cos 3pí/2 = cos 5pí/2 = ... = cos [(2p+1)pí/2] = 0 þegar p er heil tala.

Þ.e.: cos(pí/2 * oddatala) = 0

Í fallinu hefur x það hlutverk að margfalda pí/2. Það er því ljóst að ef x er oddatala verður cosinusinn af útkomunni að núlli. Þá er fallið ekki til í þeim punkti og þar með ekki samfellt í þeim punkti.

Fallið er hins vegar samfellt fyrir öll önnur gildi á x.
Fallið er ekki samfellt - og ekki til - þegar x er oddatala.

Skoðaðu graf fallsins y = tan x á mynd 1.34 á bls. 117.

21. - 24.
dæmi:
Reiknaðu markgildið.
Er fallið samfellt í punktinum sem stefnt er að ?
23. dæmi: Guðni Helgason í október 2001:
Ath: Samkvæmt skilgreiningu er sec y = 1/cos y

limy->1 sec(y sec2 y - tan2 y - 1)
= limy->1 sec(y sec2 y - (tan2 y + 1))
= limy->1 sec(y sec2 y - (sin2 y / cos2 y + 1))
= limy->1 sec(y sec2 y - ((sin2 y + cos2 y) / cos2 y )
= limy->1 sec(y sec2 y - (1 / cos2 y )
= limy->1 sec(y sec2 y - sec2 y )
= limy->1 sec((y-1) sec2 y)
= sec((1-1) sec2 1)
= sec(0) = 1 / cos 0 = 1/1 = 1

25.
dæmi:
Vitað er um fallið f(x) að það er samfellt á [0,1] og það er negatíft í x = 0 en pósitíft í x = 1.
Geturðu dregið einhverjar ályktanir af þessum upplýsingum um jöfnuna f(x) = 0 ?
Rissaðu graf af fallinu til að styðja tilgátu þina.
26.dæmi: Hvers vegna hefur jafnan cos x = x að minnsta kosti eina lausn?
27.
dæmi:
Útskýrðu hvers vegna eftirfarandi fimm dæmi eru í raun öll eitt og sama dæmið:

  • a) Reiknaðu núllstöðvar fallsins f(x) = x3 - 3x - 1
    Núllstöðvar fallsins eru í þeim x-gildum sem gera rétta jöfnuna:
    x3 - 3x - 1 = 0
  • b) Reiknaðu x-hnit punktanna þar sem ferill fallsins y = x3 sker línuna y = 3x + 1
    Þar sem fallið og línan skerast hafa þau sama y-gildi en það merkir að:
    x3 = 3x + 1 sem einnig má skrifa x3 - 3x - 1 = 0
  • c) Reiknaðu öll gildi á x sem gera rétta jöfnuna x3 - 3x = 1
    Þetta umritast í x3 - 3x - 1 = 0
  • d) Reiknaðu x-hnit punktanna þar sem ferill fallsins y = x3 - 3x sker línuna y = 1
    Þar gildir að x3 - 3x = 1 sem umritast í x3 - 3x - 1 = 0
  • e) Leystu jöfnuna x3 - 3x - 1 = 0

Athugaðu að í þessu dæmi er ekki beðið um að leysa jöfnuna.
Ef þú vilt finna lausnirnar notarðu meðalgildisregluna (Theorem 10 á bls. 130) og forrit sem dregur upp feril. Þú getur notað Excel. Meðalgildisreglan segir að ef þú finnur eitthvert gildi á x, t.d. x = a, þannig að f(a) < 0 og þú finnur annað gildi x = b, þannig að f(b) > 0 þá hlýtur að vera til gildi c á bilinu (a,b) þannig að f(c) = 0. Þú prófar þig áfram með því að gefa sífellt ný gildi og þrengja þannig bilið sem geymir núllstöðina, þ.e. gildið c.

Hér er Excel-skjal sem sýnir hvernig finna má lausnir þessarar jöfnu.

28.
dæmi:
Tiltekið er fallið f(x) = x3 - 8x + 10

Sýndu að til er að minnsta kosti einn punktur á ferlinum þar sem
a) f(x) = pí
b) f(x) = mínus rótin af 3
c) f(x) = 5.000.000

Hér notfærirðu þér meðalgildisregluna.
Dæmi:
c - liður: x3 - 8x + 10 = 5.000.000 sem jafngildir
x3 - 8x - 4.999.990 = 0
Skoðum fallið f(x) = x3 - 8x - 4.999.990
Við leitum að gildi x = a þannig að f(a)>0 og að gildi x = b þannig að f(b)<0
Látum a = 1.000.000 því ljóst er að f(1.000.000) > 0
Látum b = 0 þar sem f(0) < 0.

Þar sem þetta fall er samfellt á bilinu ]a,b[ þá tekur það - samkvæmt meðalgildisreglunni - öll þau gildi sem til eru milli f(a) og f(b) og þar með líka gildið 0. Köllum þann punkt x= c. Þar er f(c) = 0.
Í þeim punkti er x3 - 8x - 4.999.990 = c3 - 8c - 4.999.990 = 0 og x = c er ein lausn á jöfnunni.

29.
dæmi:
Búðu til dæmi um fall f(x) sem er samfellt fyrir öll gildi á x nema x = 2 en þar er ósamfelldni sem unnt er að 'bæta'. Útskýrðu hvernig þú veist að fallið er ósamfellt í x = 2 og hvernig þú veist að unnt er að ráða bót á því.
30.
dæmi:
Búðu til dæmi um fall g(x) sem er samfellt fyrir öll gildi á x nema x = -1 en þar er ósamfelldni sem ekki er unnt að 'bæta'. Útskýrðu hvernig þú veist að fallið er ósamfellt í x = -1 og hvernig þú veist að ekki er unnt að ráða bót á því.
31.
dæmi:
Reiknaðu ræturnar með þremur aukastöfum.

Þetta dæmi má reikna í tölvu sem teiknar grafið. Þegar grafið er komið upp og núllstöð sést - þ.e. staður þar sem ferillinn fer í gegnum x-ásinn, er beðið um graf af sífellt þrengra svæði sem þó inniheldur núllstöðina - uns endapunktar svæðisins eru skráðir með þremur aukastöfum.

Einnig má reikna þetta dæmi með því að skrifa það svona:
x5 - x4 - 5x3 = x3(x2 - x - 5) og leysa síðan annars stigs jöfnuna x2 - x - 5 = 0 sem skilar lausnunum: x = (1 + rótin af 21)/2 og x = (1 mínus rótin af 21) / 2 og auk þeirra er svo gildið x = 0 þreföld núllstöð. Lausnin skrifast þá þannig:

x5 - x4 - 5x3 = (x - 0) * (x - 0) * (x - 0) * (x - [(1 + rótin af 21)/2] * (x + (1 + rótin af 21)/2]

32.
dæmi:
Rita skal margliðuna x3 - 3x - 1 á forminu (x - r) q(x) þar sem q(x) er annars stigs margliða.
Reiknaðu r með þremur aukastöfum.

Þetta er gert ráð fyrir að réiknað sé í tölvu sem teiknar grafið. Þegar grafið er komið upp og núllstöð sést - þ.e. staður þar sem ferillinn fer í gegnum x-ásinn, er beðið um graf af sífellt þrengra svæði sem þó inniheldur núllstöðina - uns endapunktar svæðisins eru skráðir með þremur aukastöfum.

33.
dæmi:
a) Notfærðu þér þá staðreynd að hvert einasta bil milli tveggja rauntalna inniheldur bæði ræðar og óræðar tölur - til að rökstyðja að fallið f(x) er ósamfellt í hverjum einasta punkti.

b) Er f(x) í einhverjum punkti hægri-samfelldni eða vinstri-samfelldni ?

34.
dæmi:
Er það hugsanlegt - ef föllin f(x) og g(x) eru samfelld á [0,1] - að f(x) / g(x) sé hugsanlega ósamfellt í einhverjum punkti á bilinu? Rökstyddu svarið.
35.
dæmi:
Er það rétt að fall sem er samfellt á tilteknu bili og tekur þar aldrei gildið NÚLL geti aldrei skipt um formerki á bilinu?
36.
dæmi:
Er það rétt að ef þú teygir teygju - með því að toga annan endann til vinstri en hinn til hægri - að þá hljóti einhver punktur teygjunnar að verða á sama stað og hann var áður en þú teygðir teygjuna? Rökstyddu svarið.
37.
dæmi:
Tiltekið er að fallið f(x) er samfellt á lokaða bilinu [0,1] og að 0 </= f(x) </= 1 fyrir öll x á bilinu. Sýndu að það hljóti að vera til að minnsta kosti ein tala - köllum hana c - á bilinu þannig að f(c) = c.
38.
dæmi:
Tiltekið er að fallið f(x) er skilgreint á bilinu ]a,b[ og að í c sem er á bilinu er f(c) samfellt og f(c) <> 0. Sýndu að til er bil við c: ]c - delta, c + delta[ þar sem f hefur sama formerki og f(c).

Taktu eftir að þótt f sé skilgreint á öllu bilinu þarf fallið aðeins að vera samfellt í x = c til þess að þessi regla haldi. Það dugar til þess að sýna að f er <> 0 á öllu bilinu - enda þótt það kunni að vera aðeins örstutt !!

39.
dæmi:
Louisa hefur gert launasamning. Hún fær í byrjunarlaun kr. 36.500 (jú - auðvitað - dollara - en látum það bara heita krónur - súperkrónur). Samningurinn gerir ráð fyrir að launin hækki um 3,5árlega í 4 ár.

a) Sýndu að launin séu y = 36.500(1,035)int t
þar sem t er árafjöldinn frá því að samningurinn var gerður.

b) Rissaðu graf launafallsins. Hvar er fallið samfellt ?

40.
dæmi:
Bílageymsla tekur 110 krónur fyrir að geyma bifreið í 1 klst. - eða brot úr klst. Greiðslan verður þó ekki meiri en kr. 725 fyrir að geyma bifreiðina heilan sólarhring.

a) Skrifaðu formúlu sem skilar gjaldinu eftir x klst þar sem 0 </= x </= 24.

b) Rissaðu graf fallsins og segðu hvort það er einhvers staðar samfellt.

Efst á þessa síðu * Forsíða