Forsíða

1.1-Leiðbeiningar og lausnir (30.11.2001)

Dæmasafn á bls. 95:
Dæmi 10, 12, 47, 49

1, - 4.
dæmi:
Reiknaðu meðalhröðun fallsins á viðkomandi bilum.
5.
dæmi:
Grafið sýnir samband tíma og vegalengdar þegar Ford Mustgang Cobra bifreið ekur af stað.

  • a) Áætlaðu hallatölur línanna PQ1, PQ2, PQ3, og PQ4 og settu þær upp í töflu. Hver er viðeigandi eining í þessu samhengi?
  • b) Áætlaðu hraða bifreiðarinnar þegar hún hefur ekið í 20 sekúndur.
6.
dæmi:
Maður var að störfum efst í loftnetsmastri á tunglinu og missti þá skiptilykil niður á þak stöðvarinnar. Fallið var 80 metrar. Meðfylgjandi mynd sýnir í metrum þá vegalengd sem skiptilykillinn hefur fallið eftir t sekúndur.
  • a) Áætlaðu hallatölur línanna PQ1, PQ2, PQ3, og PQ4 og settu þær upp í töflu.
  • b) Hver var hraði skiptilykilsins þegar hann skall á þakinu?
7.
dæmi:
Meðfylgjandi tafla sýnir í fetum þá vegalengd sem bolti hefur farið niður skáplan á t sekúndum. Áætlaðu hraða boltans þegar t = 1 með því að reikna efri og neðri mörk og taka meðaltal af þeim. Það er að segja: reiknaðu a <= v(1) <= b og áætlaðu v(1) sem meðaltalið (a + b) / 2.
8.
dæmi:
Lest leggur af stað og eykur hraðann upp í sinn mesta ferðahraða. Þá hægir hún hraðann og fer í gegnum borg á jöfnum hraða. Eftir það eykurhún hraðann upp í fullan ferðahraða. Hún hægir svo ferðina jafnt og þétt og stöðvast á áfangastað.

Rissaðu graf sem sýnir þá vegalengd sem lestin hefur ekið á ferðatímanum.

9.
dæmi:
Myndin sýnir graf fallsins g(x). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til:

a) lim x->1 g(x)

a) lim x->2 g(x)

a) lim x->3 g(x)

10.
dæmi:
Myndin sýnir graf fallsins f(t). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til:

  • a) lim t-> -2 f(t)
    Lausn: Markgildið er til og það er 0.
    Rökin eru þessi: Fallið f(t) hefur markgildi í t = - 2 ef f(t) stefnir að tilteknu gildi - sem við skulum kalla M - hvort sem t nálgast -2 neðan frá eða ofan frá.
    Myndin sýnir að Þegar t-> -2 - nálgast f(t) núll og sama gerist þegar t->2 + - þ.e. ofan frá.
    Vissulega er f(-2) ekki til en það hefur ekki áhrif á þessa niðurstöðu. Fall getur haft markgildi í tilteknum punkti þótt það sé ekki skilgreint í þeim punkti.
  • b) lim t-> -1 f(t)
    Laust: Markgildið er til og það er -1. Sami rökstuðningur og í a-lið.
  • c) lim t->0 f(t)
    Lausn: Markgildið er ekki til.
    Þegar t nálgast núll neðan frá stefnir f(t) á -1.
    Þegar t nálgast núll ofan frá stefnir f(t) á 1.
    Þar sem þessi tvö gildi eru ekki sama gildið þá hefur fallið ekki markgildi í t = 0.
11.
dæmi:
Hér eru 6 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar.
12.
dæmi:
Hér eru 5 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar.
  • a) limx->2f(x) er ekki til.
    Lausn: Þetta er röng fullyrðing. Myndin sýnir að þegar x stefnir á 2 neðan frá stefnir f(x) á 1 og sama gerist þegar x stefnir á 2 ofan frá. Markgildið er til og það er 1. Engu skiptir að fallið er með punkt utan ferilsins í x = 2.
  • b) limx->2f(x) = 2.
    Lausn: Þetta er röng fullyrðing. Markgildi f(x) er 1 þegar x stefnir á 2. Það sést á myndinni.
  • c) limx->1f(x) er ekki til.
    Lausn: Þetta er rétt (sönn) fullyrðing. Þegar x stefnir á 1 neðan frá fæst markgildið -2 sem ekki er það sama og það sem f(x) stefnir á þegar x stefnir á 1 ofan frá - því þá stefnir f(x) á 0. Markgildi fallsins í tilteknum punkti er ekki til samkvæmt skilgreiningunni á bls. 92 - nema markgildið sé hið sama hvort sem x-gildin nálgast ofan frá eða neðan - eða hvort sem ferillinn er dreginn að þessu x-gildi neðan frá eða ofan frá.
  • d) limx->Xof(x) er til fyrir öll xo á formenginu (-1,1).
    Þetta er sönn fullyrðing. Það sést steax á því að ferillinn er teiknaður samfelldur á öllu þessu bili - og að bilið er opið. Það er því ekki verið að spyrja hvort fallið hafi markgildi í endapunktunum. Þetta fall hefur t.d. aðeins hægra-markgildi í vinstri endapunkti bilsins.
  • d) limx->Xof(x) er til fyrir öll xo á formenginu (1,3).
    Lausn: Þetta er sönn fullyrðing. Sjá rökstuðninginn í a-lið og í d-lið.
    Í hverjum einasta punkti c í þessu opna mengi gildir að til er markgildi fyrir f(t) þegar t stefnir á c.
13. - 14.
dæmi:
Gerðu grein fyrir því hvers vegna þessi markgildi eru ekki til.
15.
dæmi:
Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll gildi á x nema x = x0.
Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim x-> Xo f(x) ? Rökstyddu svarið.
16.
dæmi:
Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll x í [-1,1].
Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim x-> 0 f(x) ? Rökstyddu svarið.
17.
dæmi:
Vitað er að lim x-> 1 f(x) = 5
Er þar með víst að f(1) sé til ?
Ef f(1) er til - er þá nauðsynlegt að f(1) = 5 ?
Er unnt að draga einhverjar ályktanir um f(1) ?
18.
dæmi:
Ef f(1) = 5 er þá víst að til sé lim x-> 1 f(x) ?
Ef til er lim x-> 1 f(x) er þá nauðsynlegt að lim x-> 1 f(x) = 5 ?
Er unnt að draga einhverjar ályktanir um lim x-> 1 f(x) ? Rökstyddu svarið.
19. - 26.
dæmi:
Notaðu graf-tölvu við þessi dæmi.
Skrifa skal töflu yfir gildi fallsins í hinum tilteknu x-gildum og draga af þeim ályktun um tiltekið markgildi. Síðan skal styðja tilgátuna með því að láta tölvuna teikna graf fallsins.
27. - 30.
dæmi:
Notaðu grafið til að reikna deltu > 0 þannig að fyrir öll x gildi:
0 < |x - x0| < delta
gildi:
|f(x) - L| < epsilon
31. - 36.
dæmi:
Tiltekið er fallið f(x), markgildið L, x-gildið x0 og epsilon > 0.
Reikna skal opin bil með (sem inniheldur) x0 þar sem á öllu bilinu gildir
|f(x) - L| < epsilon.

Reikna skal síðan gildi á delta > 0 þannig að fyrir öll x sem uppfylla
0 < |x - x0| < delta
gildi:
|f(x) - L| < epsilon.

37.
dæmi:
Áður en þú tekur að þér að slípa stimpil í vél þannig að yfirborð hans verði 9 ferþumlungar þarftu að vita hvert frávikið má vera á radíusnum frá því besta - sem væri x0 = 3,385 tommur - svo að þú náir því samt að hafa yfirborðið innan við 0,01 fertommu frá hinum eftirsóttu 9 fertommum.

Til þess að finna þetta út notarðu flatarmálsfallið A = pí(x/2)2 og reiknar það bil sem x verður að vera á til að |A - 9| <= 0,01.

Hvert verður bilið?

38.
dæmi:
Ohms lögmál í rafrás - eins og þeirri sem sést á myndinni - segir: V = RI þar sem V er föst spenna, I er straumurinn í amperum og R er viðnámið í ohmum.

Fyrirtæki þitt hefur fengið það verkefni að framleiða viðnámin í rás þar sem V = 120 volt og I = 5 +/- 0,1 amper.

Á hvaða bili þarf R að vera til að I verði innan 0,1 amper frá hinu eftirsótta gildi: I0 = 5 ?

39.
dæmi:
Tiltekið er f(x) = (3x - 1)0,5

  • a) Sýndu að lim x-> 2 f(x) = 2 = f(2)
  • b) Notaðu graf fallsins til að áætla gildi fyrir a og b þannig að
    1,8 < f(x) < 2
    þegar a < x < b
  • c) Notaðu graf fallsins til að áætla gildi fyrir a og b þannig að
    1,99 < f(x) < 2,01
    þegar a < x < b
40.
dæmi:
Tiltekið er f(x) = sin x
  • a) Reiknaðu f(pí/6).
  • b) Notaðu graf fallsins til að finna bil (a,b) sem inniheldur x = pí/6
    þannig að 0,3 < f(x) < 0,7
    þegar a < x < b
  • c) Notaðu graf fallsins til að finna bil (a,b) sem inniheldur x = pí/6
    þannig að 0,49 < f(x) < 0,51
    þegar a < x < b
41.
dæmi:
Blöðru með vatni er kastað frá glugga í háu húsi og fallvegalengdin er y = 4,9t2 metrar á t sekúndum. Reiknaðu
  • a) meðalhraða blöðrunnar á fyrstu þremur sekúndunum
  • b) og hraða hennar þegar t = 3.
42.
dæmi:
Steinn hrapar á lítilli og loftlausri stjörnu og fallvegalengdin er y = gt2 metrar á t sekúndum þar sem g er fasti. Gerum ráð fyrir að steinninn falli niður um 20 metra og fallið taki 4 sekúndur.
  • a) Reiknaðu g.
  • b) Reiknaðu meðalhraða steinsins í fallinu.
  • c) Hver var hraðinn þegar steinninn skall niður?
43. - 46.
dæmi:
Ljúktu við töfluna og tiltaktu hvað þú telur markgildi f(x) vera þegar x stefnir á 0.
47. - 50.
dæmi:
Notaðu graf-tölvu.
a) Láttu tölvuna teikna grafið við hið tiltekna x-gildi.
b) Notaðu grafið til að áætla um markgildið.
c) Hvað merkir þetta markgildi? Hversu vel tókst þér að giska?
51. - 54.
dæmi:
Notaðu graf-tölvu.
  • a) Láttu tölvuna teikna grafið við hið tiltekna x-gildi.
  • b) Notaðu grafið til að áætla um markgildið. Hvað merkir þetta markgildi? Hversu vel tókst þér að giska?
  • c) Notaðu gildið epsilon = 0,2 og teiknaðu línurnar y1 = L - epsilon og y2 = L + epsilon í sama hnitakerfi og f(x) við x = x0.
  • d) Notaðu grafið í c-lið til að reikna delta > 0 þannig að fyrir öll x sem eru þannig að
    0 < |x - x0| < delta
    gildi
    |f(x) - L| < epsilon.
    Prófaðu mat þitt með því að teikna gröf f og y1 og y2 á bilinu
    0 < |x - x0| < delta
    Láttu grafið ná yfir bilið (formengið)
    x0 - 2delta <= x <= x0 + 2delta og þá verður varpmengið innan bilsins
    L - 2 epsilon <= y <= L + 2epsilon
    Athugaðu að ef einhver gildi lenda utan þessa varpmengis hefurðu valið deltu of stóra. Minnkaðu hana þá og reyndu aftur.
  • e) Endurtaktu c-lið og d-lið með epsilon = 0,1 og 0,05 og 0,001.

Efst á þessa síðu * Forsíða