Forsíða |
1.1-Leiðbeiningar og lausnir (30.11.2001)Dæmasafn á bls. 95: |
1, - 4. dæmi: |
Reiknaðu meðalhröðun fallsins á viðkomandi bilum. |
5. dæmi: |
Grafið sýnir samband tíma og vegalengdar þegar Ford Mustgang Cobra bifreið ekur af stað.
|
6. dæmi: |
Maður var að störfum efst í loftnetsmastri á tunglinu og missti þá skiptilykil niður á þak stöðvarinnar. Fallið var 80 metrar. Meðfylgjandi mynd
sýnir í metrum þá vegalengd sem skiptilykillinn hefur fallið eftir t sekúndur.
|
7. dæmi: |
Meðfylgjandi tafla sýnir í fetum þá vegalengd sem bolti hefur farið niður skáplan á t sekúndum. Áætlaðu hraða boltans þegar t = 1 með því að reikna efri og neðri mörk og taka meðaltal af þeim. Það er að segja: reiknaðu a <= v(1) <= b og áætlaðu v(1) sem meðaltalið (a + b) / 2. |
8. dæmi: |
Lest leggur af stað og eykur hraðann upp í sinn mesta ferðahraða. Þá hægir hún hraðann og fer í gegnum borg á jöfnum hraða. Eftir það
eykurhún hraðann upp í fullan ferðahraða. Hún hægir svo ferðina jafnt og þétt og stöðvast á áfangastað.
Rissaðu graf sem sýnir þá vegalengd sem lestin hefur ekið á ferðatímanum. |
9. dæmi: |
Myndin sýnir graf fallsins g(x). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til:
a) lim x->1 g(x) a) lim x->2 g(x) a) lim x->3 g(x) |
10. dæmi: |
Myndin sýnir graf fallsins f(t). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til:
|
11. dæmi: |
Hér eru 6 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar. |
12. dæmi: |
Hér eru 5 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar.
|
13. - 14. dæmi: |
Gerðu grein fyrir því hvers vegna þessi markgildi eru ekki til. |
15. dæmi: |
Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll gildi á x nema x = x0. Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim x-> Xo f(x) ? Rökstyddu svarið. |
16. dæmi: |
Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll x í [-1,1]. Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim x-> 0 f(x) ? Rökstyddu svarið. |
17. dæmi: |
Vitað er að lim x-> 1 f(x) = 5 Er þar með víst að f(1) sé til ? Ef f(1) er til - er þá nauðsynlegt að f(1) = 5 ? Er unnt að draga einhverjar ályktanir um f(1) ? |
18. dæmi: |
Ef f(1) = 5 er þá víst að til sé lim x-> 1 f(x) ? Ef til er lim x-> 1 f(x) er þá nauðsynlegt að lim x-> 1 f(x) = 5 ? Er unnt að draga einhverjar ályktanir um lim x-> 1 f(x) ? Rökstyddu svarið. |
19. - 26. dæmi: |
Notaðu graf-tölvu við þessi dæmi. Skrifa skal töflu yfir gildi fallsins í hinum tilteknu x-gildum og draga af þeim ályktun um tiltekið markgildi. Síðan skal styðja tilgátuna með því að láta tölvuna teikna graf fallsins. |
27. - 30. dæmi: |
Notaðu grafið til að reikna deltu > 0 þannig að fyrir öll x gildi: 0 < |x - x0| < delta gildi: |f(x) - L| < epsilon |
31. - 36. dæmi: |
Tiltekið er fallið f(x), markgildið L, x-gildið x0 og epsilon > 0. Reikna skal opin bil með (sem inniheldur) x0 þar sem á öllu bilinu gildir |f(x) - L| < epsilon. Reikna skal síðan gildi á delta > 0 þannig að fyrir öll x sem uppfylla |
37. dæmi: |
Áður en þú tekur að þér að slípa stimpil í vél þannig að yfirborð hans verði 9 ferþumlungar þarftu að vita hvert frávikið má vera á radíusnum
frá því besta - sem væri x0 = 3,385 tommur - svo að þú náir því samt að hafa yfirborðið innan við 0,01 fertommu frá hinum eftirsóttu 9
fertommum.
Til þess að finna þetta út notarðu flatarmálsfallið A = pí(x/2)2 og reiknar það bil sem x verður að vera á til að |A - 9| <= 0,01. Hvert verður bilið? |
38. dæmi: |
Ohms lögmál í rafrás - eins og þeirri sem sést á myndinni - segir: V = RI þar sem V er föst spenna, I er straumurinn í amperum og R er
viðnámið í ohmum.
Fyrirtæki þitt hefur fengið það verkefni að framleiða viðnámin í rás þar sem V = 120 volt og I = 5 +/- 0,1 amper. Á hvaða bili þarf R að vera til að I verði innan 0,1 amper frá hinu eftirsótta gildi: I0 = 5 ? |
39. dæmi: |
Tiltekið er f(x) = (3x - 1)0,5
|
40. dæmi: |
Tiltekið er f(x) = sin x
|
41. dæmi: |
Blöðru með vatni er kastað frá glugga í háu húsi og fallvegalengdin er y = 4,9t2 metrar á t sekúndum. Reiknaðu
|
42. dæmi: |
Steinn hrapar á lítilli og loftlausri stjörnu og fallvegalengdin er y = gt2 metrar á t sekúndum þar sem g er fasti. Gerum ráð fyrir að steinninn
falli niður um 20 metra og fallið taki 4 sekúndur.
|
43. - 46. dæmi: |
Ljúktu við töfluna og tiltaktu hvað þú telur markgildi f(x) vera þegar x stefnir á 0. |
47. - 50. dæmi: |
Notaðu graf-tölvu. a) Láttu tölvuna teikna grafið við hið tiltekna x-gildi. b) Notaðu grafið til að áætla um markgildið. c) Hvað merkir þetta markgildi? Hversu vel tókst þér að giska? |
51. - 54. dæmi: |
Notaðu graf-tölvu.
|