P3-Leiðbeiningar og lausnir (24.09.2001)

Dæmasafn á bls. 29: Dæmi 1, 2, 3, 8, 21, 23, 25, 26, 28, 31

Rissaðu upp hjá þér graf fallsins y = 2^x

Íhugaðu hvernig grafið muni líta út ef fallið skiptir um formerki og verður g(x) = - (2^x) {Auðvitað er sviginn alveg óþarfur ..!}

Íhugaðu hvernig grafið muni haga sér ef talan 10 kæmi í staðinn fyrir töluna 2. Fallið mun vaxa miklu hraðar.
Ef talan 0,1 kæmi í staðinn fyrir töluna 2 mundi fallið breyta um háttalag. Þegar x er minna en 0 mundi fallið stækka í mínus-áttina en þegar s er stærra en núll mundi fallið minnka (lækka) í plús-áttina.

Íhugaðu hvernig grafið mundi líta út af talan 7 bættist við fallið - eða ef talan 7 drægist frá fallinu.

Skoðum 3. dæmi: y = -3^-x sem skýrara er að skrifa: y = - (3^-x) og enn einfaldara er að átta sig á því ef það er skrifað svona:
y = - [1/3^x]
Stærðin 3^x getur nálgast núll ofan frá þegar x fer niður úr öllu valdi (verður mínus milljón - eða jafnvel þrilljón) - en hún verður aldrei núll. Ef x verður hins vegar afar stór plús-tala verður 3^x afar stór - vex upp úr öllu valdi. Þetta snýst við þegar skoðuð er stærðin [1/3^x] sem verður afar ST'ÓR þegar x fer niður úr öllu valdi (verður mínus milljón!!) en afar LÍTIL þegar x fer upp úr öllu valdi (verður milljón!!). Samt sem áður verður þessi stærð alltaf pósitíf. Það er hins vegar mínusinn fyrir framan þessa stærð sem veldur því að y verður alltaf mínus-tala.

Hvar fer grafið gegnum y-ásinn?
Þegar x = 0
þ.e. í y = -[1/3⁰] = - [1/1] = -1
með öðrum orðum: í punktinum (0,-1).

7. dæmi: y = -2^x + 3
Formengið: x má taka öll gildi svo formengið er R.
Varpmengið: Stærðin 2^x getur minnst orðið því sem næst núll en með háum x-gildum vex hún upp úr öllu valdi.Framan við þessa stærð er mínus-merki. Hún dregst því frá þremur. Það minnsta sem frá dregst er sem næst núll. með hærri gildum á x dregst æ meira frá. Þess vegna verður y alltaf neðan við 3. Varpmengið er: y < 3.
Hver er skurðpunkturinn við y-ásinn?
Þegar x=0 fæst y=y = -2⁰ + 3 = -1 + 3 = 2
þ.e. í punktinum (0,2).

8. dæmi: y = e^x + 3
Formengið er allt rauntölumengið (R) nema þau gildi sem x má EKKI taka - og þau köllum við banngildi á x. Eru einhver banngildi á x í stæðunni y = e^x + 3 ?

Varpmengi eru þau gildi sem y getur fengið. Þú lest þau af grafinu. Eru einhverjir punktar NEÐAN við x-ásinn? á - x-ásnum? ofan við x-ásinn? Þetta graf reynist allt vera OFAN við x-ásinn. Eru einhver gildi OFAN við x-ásinn sem y getur ALLS EKKI tekið?

Til þess að finna skurðbunktana við ásana setjum við

• fyrst x = 0 og reiknum gildið á y svona: y = e⁰ +3 = 1 + 3 = 4 og fáum að hnit skurðpunktsins við y-ás eru (0,4).
• síðan y = 0 og reiknum gildið á x svona: 0 = e^x + 3 <=> e^x = - 3 en þar sem við þekkjum fallið y = e^x vitum við að það getur ALDREI tekið negatív gildi svo að á þessu er ENGIN lausn. Með öðrum orðum: Ferillinn sker ekki x-ásinn. Hann fer raunar aldrei niður í láréttu línuna y = 3.

Í dæmi 16 verður taflan svona:
x # y = -3x + 4 # DELTAy
1 # 1
2 # -2 # -3
3 # -5 # -3
4 # -8 # -3

Spurningin er þessi: Ef þú veist hvert x-gildið er - geturðu þá sagt til um hvað DELTAy verður?
Ljóst er að þú getur það. Til dæmis hlýtur DELTAy að vera -3 þegar x tekur gildið 77. Hvaða stærð í jöfnunni ákveður stærðina á DELTAy ?

22. dæmi:
Alltaf gildir að y = f(x) og þess vegna má rita þessa jöfnu þannig: y = k * a^x sem mörgum finnst ljósara þegar verið er að fást við x-hnit og y-hnit.
Taktu eftir að þessi jafna hefur FJÓRAR óþekktar stærðir.
Punktarnir tveir eru á ferli fallsins. Það merkir að hnit þeirra gera jöfnu fallsins rétta. Þannig getum við búið til tvær jöfnur sem hvor um sig hefur aðeins TVÆR óþekktar stærðir - og að það eru SÖMU tvær óþekktu stærðirnar. Við ráðum einmitt við að leysa TVÆR jöfnur sem hafa SÖMU TVÆR óþekktu stærðirnar.

Punkturinn (x=1 ; y=1,5) er á grafinu. Þannig fáum við
jöfnuna J₁: 1,5 = k * a¹

Punkturinn (x=-1 ; y=6) er á grafinu. Þannig fáum við
jöfunna J₂: 6 = k * a^-1

Þú getur leyst k úr J₁ svona: k = 1,5 / a sem rita má svona: k = 1,5 * a^-1 {Hvers vegna?}
Þetta gildi á k seturðu svo inn í J₂ og færð 6 = 1,5 * a^-1 * a^-1 sem rita má svona: 6 = 1,5 * a^-2 {Hvers vegna?}
Þú getur margfalda beggja megin með a² og deilt beggja megin með 6 sem gefur þér jöfnuna:
a² = 0,25 og a fæst þá: a = 0,5

Hvers vegna má a ekki vera -0,5 sem líka er lausn á jöfnunni a² = 0,25 ??

23. Dæmi: 2^x = 5
Þú rissar upp mynd fallsins f(x) = 2^x sem við gjarnan skrifum sem y = 2^x og reynir að finna út - já - með ágiskun auðvitað !! - hvenær (=hvað x-ið er orðið stórt þegar) ferillinn nær hæðinni y = 5.
Athugaðu að undir myndinni í svara-bókinni eru tilnefnd tvö mengi: [-6,6] by [-2,6] sem merkir að x er á lokaða bilinu [-6,6] og y er á lokaða bilinu [-2,7] - og þegar þú skoðar myndina sérðu að það er einmitt þetta svæði hnitakerfisins sem myndin sýnir.

Svarið: x = 2,3219 fæst auðvitað ekki nákvæmt með því að lesa úr myndinni en það má reikna það nákvæmlega - þó ekki sé beðið um það í dæminu. Það gerirðu svona:

Leysa skal jöfnuna J: 2^x=5

Við getum hvort heldur sem er miðað við logaritma með grunntölunni 10 eða við log nat með grunntölunni e. Í báðum tilfellum þarftu að lokum að reikna á tölvunni.

Notum log nat:

við vitum að 2 = e^ln2

og þá er 2^x = (e^ln2)^x = e^x*ln2

og 5 = e^ln5

þá getum við skrifað jöfnuna J svona:

e^x*ln2 = e^ln5

við sjáum að beggja megin við jafnaðarmerkið er um að ræða e í tilteknu veldi og útkoman er jöfn. Það merkir að veldisvísarnir hljóta að vera jafnir og þannig fáum við jöfnuna:

x*ln2 = ln5

við deilum beggja megin með ln2 og fáum:

x = ln5 / ln2

og nú seturðu þetta inn í tölvuna þína og færð niðurstöðuna.

(Við vonum að hún rími við svörin!!)

Skrifaðu B sem f(t). Það verður svona: f(t) = 100e^{0,693 t}
a-svarið er þá f(0), b-svarið verður f(6).
C-liðurinn verður hins vegar með jöfnuna: 100e^{0,693 * t} = 200
sem þú notar til að reikna gildið á t.

Reikningarnir líta svona út:

• (a) f(0) = 100e^{0,693 * 0} = 100 * e⁰ = 100 * 1 = 100
• (b) f(6) = 100e^{0,693 * 6} = 100 * e^4,158 = 100 * 63,94 = 6394
  Fleiri aukastafir mundu tákna brot úr bakteríu !
• (c) Tvöföldunartíminn er sá tími sem þarf að líða til að bakteríurnar tvöfaldist. Í upphafi voru 100 bakteríur. Við viljum vita hversu langur tími þarf að líða uns fjöldinn hefur tvöfaldast og er orðinn 200. Jafnan verður svona:
  f(t) = 100e^0,693t = 200 eða 100e^0,693t = 200
  Hér er einfaldast að deila beggja megin með 100 til að fá jöfnuna: e^0,693t = 2
  Við vitum að 2 = e^ln2 svo að jöfnuna má einnig skrifa svona: e^0,693t = e^ln2
  sem vekur athygli okkar á því að beggja megin við jafnaðarmerkið hlýtur e að vera í SAMA veldi
  sem merkir að 0,693*t = ln(2)
  og við deilum í gegn með 0,693 og fáum t = ln(2) / 0,693 sem gefur okkur t = 1,000 eða:
  bakteríurnar tvöfaldast á 1 klst.

31. dæmi: Almenn rýrnunarjafna hefur formið f(t) = upphafsmagnið * e ^{-r * t} þar sem r > 0
(a)
Hér er vitað að upphafsmagnið var 6,6
Einnig er vitað að eftir 14 daga hefur magnið rýrnað um helming og er þá orðið 3,3.

Við látum t tákna daga og jafnan f(t) = 6,6 * e ^{-r * t} verður eftir 14 daga þannig:
f(14) = 6,6 * e ^{-r * 14} = 3,3 eða 6,6 * e ^{-r * 14} = 3,3
Deilum beggja megin með 6,6 og fáum e ^{-r * 14} = ½
sem jafngildir e ^{-r * 14} = e ^-ln(2)
Veldisvísarnir eru jafnstórir svo að -r * 14 = -ln(2) sem gefur r = ln(2) / 14

Setjum þetta gildi á r inn í jöfnuna:
f(t) = 6,6 * e ^{(-ln(2) * t) / 14} og þar sem e ^-ln(2) = ½
fæst f(t) = 6,6 * (½) ^t/14

(b)
Aðeins eitt gramm verður eftir þegar svo margir dagar hafa liðið og t er orðin svo stór tala að
f(t) = 6,6 * (½) ^t/14 = 1 eða 6,6 * (½) ^t/14 = 1 eða (½) ^t/14 = 1 / 6,6

Notum ln og skrifum hliðarnar sem veldi af e - svona:
e ^{-ln(2) * t/14} = e^{- ln(6,6)} sem gefur okkur
- ln(2) * t / 14 = - ln(6,6) og t = 14 * ln(6,6) / ln(2) = 38,11452
eða eftir sem næst 38 daga.