Forsíða
Kom inn!
reglan um cos(A+B)
Sönnun reglunnar

cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB

þegar hornin A og B eru bæði hvöss
og A+B < pí/2

Skýr-
ingar-
mynd:

Hornið
A og
hornið
B og
hornið
A+B

Skynd
Eins í
laginu
Einslaga eru þríhyrningarnir OQF og PCG
sem gefur:
OQ/PC = OF/PG = QF/CG
Setjum inn það sem þekkt er og fáum:
(1/PC =) cosA/sinB = sinA/v

og það gefur okkur að v = (sinA sinB)/ cos A

Eins í
laginu
Einslaga eru þríhyrningarnir OQF og OCE
sem gefur:
OQ/OC = OF/OE = QF/CE
Setjum inn það sem þekkt er og fáum:
1/u = cosA/t (= sinA/CE)

og það gefur okkur að u = t / cos A
og einnig að t = u cosA og þar sem t = cos(A+B) merkir þetta að:
cos(A+B) = u cosA

Jafna: Á myndinni sést að cosB = u + v

Við setjum það sem þekkt er um u og v inn í þessa jöfnu og fáum þá:

cos B = t/cos A + (sinA sinB)/cos A

Margföldum í gegn með cos A og fáum:
cosA cosB = t + sinA sinB

og leysum með tilliti til t og fáum:
t = cos A cos B - sin A sin B

og við vitum að t = cos(A+B) svo niðurstaðan er þessi:

cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB

Quod Erat Demonstrandum

Efst á þessa síðu * Forsíða